كيف تقيم تكامل csc^3(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ csc^3(x) باستخدام التكامل بالأجزاء عن طريق تقسيم دالة التكامل إلى csc(x) * csc^2(x) وتطبيق المتطابقات المثلثية، مما ينتج عنه -(1/2)cot(x)csc(x) + (1/2)ln|csc(x) - cot(x)| + c.

تكامل csc^3(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

اكتب دالة التكامل \( \csc^3(x) \) على صورة حاصل الضرب \( \csc x \csc^2 x \):

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

طبق التكامل بالأجزاء المعطى بـ: \( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \).

ليكن \( u' = \csc^2 x \) و \( v = \csc x \)، مما يعطي \( u = -\cot x \) و \( v' = -\csc x \cot x \).

التعويض في صيغة التكامل بالأجزاء يعطي:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

بسط التعبير:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

افرد دالة التكامل:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

استخدم التكامل القياسي \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \) وعوض به في التعبير:

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

أضف \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \) إلى كلا الطرفين وبسط:

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

بضرب جميع الحدود في \( \dfrac{1}{2} \) وإضافة ثابت التكامل \( c \)، نحصل على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \csc^3(x) \):

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\dfrac{1}{2} \cot x \csc x + \dfrac{1}{2} \ln|\csc x - \cot x| + c \]

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط